2D Strange Attractors

カオスである。Strange Attractor を Scratch で実装する、というのに凝ってしばらくハマっていた。 Strange Attractor とは何かなどについてはこの辺。キーワード "strange attractor", "chaos attractor" などで画像を検索すると、いろんな図が見つかって面白い。だいぶ溜まってきたのでリンク集がてらまとめておく。3Dは別エントリ。

2DのStrange Attractorはだいたい次のような漸化式で定義される。

$\begin{cases} x_{n+1} = f_x \left(x_n, y_n \right) \\ y_{n+1} = f_y \left(x_n, y_n \right) \end{cases}$

これに適当な $\left(x_0,y_0\right)$ を与えて得られる各々 $(x,y)$ をプロットしていくと奇妙な図形ができ上がる、というもの。

Peter de Jong Attractor

2D Strange Attractor といえば Peter de Jong Attractor である(個人の感想)。詳細はこのページからリンクされているPDFに。

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.1, 0.1\right)$
$\begin{cases} x_{n+1} = \sin\left(a y_n\right) - \cos\left(b x_n\right) \\ y_{n+1} = \sin\left(c x_n\right) - \cos\left(d y_n\right) \end{cases}$

4つのパラメータ a,b,c,d は-3から +3までの値。

f:id:hrt1ro:20201115111046p:plain a=2.01 b=-2.53 c=1.61 d=-0.33

f:id:hrt1ro:20201115111042p:plain a=0.97 b=-1.899 c=1.381 d=-1.506

f:id:hrt1ro:20201115111037p:plain a=-0.709 b=1.638 c=0.452 d=1.74

f:id:hrt1ro:20201115111032p:plain a=1.4 b=-2.3 c=2.4 d=-2.1

Peter de Jong Attractor on Scratch

Clifford Attractor

Clifford A Pickoverによって発見された。 Pickover Attractor と呼ばれることもある。

$\left(x_0, y_0\right)=\left(0.1, 0.1\right)$
$\begin{cases} x_{n+1} = \sin\left(a y_n\right) + c \cos\left(a x_n\right) \\ y_{n+1} = \sin\left(b x_n\right) + d \cos\left(b y_n\right) \end{cases}$
4つのパラメータ a,b,c, d は -3 から +3 までの値。

f:id:hrt1ro:20201116203643p:plain a=1.7 b=1.7 c=0.6 d=1.2

f:id:hrt1ro:20201116203610p:plain a=-1.7 b=1.8 c=-0.9 d=-0.4

f:id:hrt1ro:20201116203556p:plain a=-1.7 b=1.3 c=-0.1 d=-1.21

f:id:hrt1ro:20201116203545p:plain a=-1.4 b=1.6 c=1.0 d=0.7

Clifford Attractor on Scratch

Fractal Dream Attractor

Clifford A Pickover によって発見された。彼の書籍 “Chaos In Wonderland” で議論されている。パラメータは Jason Rampe によるもの。

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.1, 0.1\right)$
$\begin{cases} x_{n+1} = \sin\left(b y_n\right) + c \sin\left(b x_n\right) \\ y_{n+1} = \sin\left(a x_n\right) + d \sin\left(a y_n\right) \end{cases}$
パラメータ a, b は -3 から +3 までの値、パラメータ c, d は -0.5 から +1.5 までの値。
"SSSS version" と呼ばれてるみたいだけどたぶん… sin() が 4つあるから(?)

f:id:hrt1ro:20201117163602p:plain a=-0.966918 b=2.879879 c=0.765145 d=0.744728

f:id:hrt1ro:20201117163615p:plain a=-1.9956 b=-1.4528 c=-2.6206 d=0.8517

f:id:hrt1ro:20201117163611p:plain a=-1.1554 b=-2.3419 c=-1.9799 d=2.1828

f:id:hrt1ro:20201117163606p:plain a=-2.8276 b=1.2813 c=1.9655 d=0.597

Fractal Dream Attractor on Scratch

Gumowski-Mira Attractor

I. Gumowski と C. Mira による発見。コードとパラメータは Jason Rampe と Lázaro Alonso によるもの。詳細はグモウスキー・ミラの写像。Miraは鳥が翼を広げているように見える図を「神話の鳥(mythic bird)」と名付けた。

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.1, 0.01\right)$
f,gの2種類の手続きにそれぞれ2種類の実装がある
(f1) $\begin{cases} x_{n+1} = y_n + g(x_n)\\ y_{n+1} = -x_n + g(x_{n+1}) \end{cases}$
(f2) $\begin{cases} x_{n+1} = y_n + \alpha * y * (1 - \sigma * y_n^2) + g(x) \\ y_{n+1} = -x_n + g(x_{n+1}) \end{cases}$
(g1) $g(x):=\frac{\mu x + (2 (1-\mu) x^2)}{1+x^2}$
(g2) $g(x):=\mu x + (1 - \mu) x^2 e^{\frac{1 - x^2}{4}}$
パラメータは f,gのそれぞれどちらを選択するかの指定と、α,σ,μ の3つ。

f:id:hrt1ro:20201114172858p:plain (f2,g1), α=0.008, σ=0.05, μ=-0.496

f:id:hrt1ro:20201114172852p:plain (f2,g1), α=0.009, σ=0.05, μ=-0.801

Gumowski-Mira Attractor on Scratch

Hopalong Attractor

Barry Martin によって発見された。 hopalong はポーランド語で「飛び交い」

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.0, 0.0\right)$
$\begin{cases} x_{n+1} = y_n-1-\sqrt{|b x_n-1-c|} \mathrm{sign}\left(x_n-1\right) \\ y_{n+1} = a-x_n-1 \end{cases}$
sign(x) は符号関数
パラメータは a,b,c の3つ。

f:id:hrt1ro:20201117191428p:plain a=7.1687818 b=8.436598 c=2.5598342

f:id:hrt1ro:20201117191432p:plain a=7.7867513 b=0.13218981 c=8.14611

f:id:hrt1ro:20201117191439p:plain a=9.745469 b=1.5632023 c=7.868182

f:id:hrt1ro:20201117191443p:plain a=9.767124 b=4.1097345 c=3.7833269

Hopalong Attractor on Scratch

Jason Rampe 1 Attractor

Jason Rampe による、既存の式にランダムな変更を試行するうちに発見された。

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.1, 0.1\right)$
$\begin{cases} x_{n+1} = \cos\left(b y_n\right) + c \sin\left(b x_n\right) \\ y_{n+1} = \cos\left(a x_n\right) + d \sin\left(a y_n\right) \end{cases}$

パラメータ a, b, c, d は -3 から +3 までの値。

f:id:hrt1ro:20201118131806p:plain a=-1.8669 b=1.2768 c=-2.9296 d=-0.4121

f:id:hrt1ro:20201118131815p:plain a=2.6 b=-2.5995 c=-2.9007 d=0.3565

f:id:hrt1ro:20201118131810p:plain a=-2.7918 b=2.1196 c=1.0284 d=0.1384.png

f:id:hrt1ro:20201118131819p:plain a=1.8285 b=-1.8539 c=0.3816 d=1.9765

Jason Rampe 1 Attractor on Scratch

Jason Rampe 2 Attractor

その2

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.1, 0.1\right)$
$\begin{cases} x_{n+1} = \cos\left(b y_n\right) + c \cos\left(b x_n\right) \\ y_{n+1} = \cos\left(a x_n\right) + d \cos\left(a y_n\right) \end{cases}$

f:id:hrt1ro:20201119110932p:plain a=-2.4121 b=-1.0028 c=-2.2386 d=0.274

f:id:hrt1ro:20201119110936p:plain a=-2.9581 b=0.927 c=2.7842 d=0.6267

f:id:hrt1ro:20201119110941p:plain a=1.546 b=1.929 c=1.09 d=1.41

f:id:hrt1ro:20201119110945p:plain a=2.907 b=-1.9472 c=1.2833 d=1.3206

Jason Rampe 2 Attractor on Scratch

Jason Rampe 3 Attractor

その3

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.1, 0.1\right)$
$\begin{cases} x_{n+1} = \sin\left(b y_n\right) + c \cos\left(b x_n\right) \\ y_{n+1} = \cos\left(a x_n\right) + d \sin\left(a y_n\right) \end{cases}$

f:id:hrt1ro:20201119131612p:plain a=-2.7564 b=-1.8234 c=2.8514 d=-0.8745

f:id:hrt1ro:20201119131616p:plain a=1.2418 b=-2.4174 c=-0.7112 d=-1.9802

f:id:hrt1ro:20201119131620p:plain a=2.0246 b=-1.323 c=-2.8151 d=0.2277

f:id:hrt1ro:20201119131624p:plain a=1.4662 b=-2.3632 c=-0.4167 d=2.4162

Jason Rampe 3 Attractor on Scratch

Johnny Svensson Attractor

Peter de Jong Attractor の変種。 Johnny Svensson によって創られた。

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.1, 0.1\right)$
$\begin{cases} x_{n+1} = d \sin\left(a x_n\right) - \sin\left(b y_n\right) \\ y_{n+1} = c \cos\left(a x_n\right) + \cos\left(b y_n\right) \end{cases}$

パラメータa,b,c,dは -3から3までの値

f:id:hrt1ro:20201118113509p:plain a=-2.337 b=-2.337 c=0.533 d=1.378

f:id:hrt1ro:20201118113514p:plain a=1.4 b=1.56 c=1.4 d=-6.56

f:id:hrt1ro:20201118113518p:plain a=-2.538 b=1.362 c=1.315 d=0.513

f:id:hrt1ro:20201118113522p:plain a=-2.722 b=2.574 c=1.284 d=1.043

Johnny Svensson Attractor on Scratch

Bedhead Attractor

Ivan Emrich によって発見された。bed head の意味はたぶん寝癖。

$\left(x_0,y_0\right) =\left(1.0, 1.0\right)$
$\begin{cases} x_{n+1} = \sin\left(\frac{x_n y_n}{b}\right)y_n + \cos\left(a x_n - y_n\right) \\ y_{n+1} = \frac{\sin\left(y_n\right)}{b} \end{cases}$
aとbは-1から+1までの値。

f:id:hrt1ro:20201117154731p:plain a=-0.81 b=-0.92

f:id:hrt1ro:20201117154720p:plain a=-0.64 b=0.76

f:id:hrt1ro:20201117154727p:plain a=-0.67 b=0.83

f:id:hrt1ro:20201117154723p:plain a=0.06 b=0.98

Bedhead Attractor on Scratch

Quadratic Strange Attractor

Clint Sprottによる、12パラメータの系。quadraticは2次式ということ。

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.1, 0.1\right)$
$\begin{cases} x_{n+1} = a_0 + a_1 x_n + a_2 x_n^2 + a_3 x_n y_n + a_4 y_n + a_5 y_n^2 \\ y_{n+1} = a_6 + a_7 x_n + a_8 x_n^2 + a_9 x_n y_n + a_{10} y_n + a_{11} y_n^2 \end{cases}$
パラメータは $a_0$ から $a_{11}$ までの12個。各値は長さ12文字の文字列で与えられる。
パラメータ文字はAからYまでの25種類で-1.2から+1.2までの値を表す。 A=-1.2として、次の文字に進むごとに0.1刻みで増え、Y=+1.2である。

f:id:hrt1ro:20201118150429p:plain CVQKGHQTPHTE

f:id:hrt1ro:20201118150433p:plain WNCSLFLGIHGL

Quadratic Strange Attractor on Scratch

Cubic Strange Attractor

cubicは3次。

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.1, 0.1\right)$
$\begin{cases} x_{n+1} = a_0 + a_1 x_n + a_2 x_n^2 + a_3 x_n^3 + a_4 x_n^2 y_n + a_5 x_n y_n + a_6 x_n y_n^2 + a_7 y_n + a_8 y_n^2 + a_9 y_n^3 \\ y_{n+1} = a_{10} + a_{11} x_n + a_{12} x_n^2 + a_{13} x_n^3 + a_{14} x_n^2 y_n + a_{15} x_n y_n + a_{16} x_n y_n^2 + a_{17} y_n + a_{18} y_n^2 + a_{19} y_n^3 \end{cases}$
パラメータは $a_0$ から $a_{19}$ までの20個。値は Quadratic と同じ、AからYまでの25種類からなる20文字の文字列で与えられる。

f:id:hrt1ro:20201119121908p:plain ISMHQCHPDFKFBKEALIFD

f:id:hrt1ro:20201119121904p:plain JYCBMNFNYOEPYUGHHESU

Cubic Strange Attractor on Scratch

あと4次,5次,6次とあるけど割愛。

Symmetric Icon Attractor

Michael Field と Martin Golubitsky によって創られた。コードとパラメータは Jason Rampe によるもの。

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.01, 0.01\right)$

$\left(x_n, y_n\right)$ から $\left(x_{n+1}, y_{n+1}\right)$ を得る手順は下記の擬似コードで与えられる。

z_real ← x_n
z_imag ← y_n
repeat (degree-2) times {
     z_a ← z_real*x_n - z_imag*y_n
     z_b ← z_imag*x_n + z_real*y_n
     z_real ← z_a
     z_imag ← z_b
}
z_n ← x_n*z_real - y_n*z_imag
p ← α*(x_n² + y_n²) + β*z_n + λ
x_n+1 ← p*x_n + γ*z_real - ω*y_n
y_n+1 ← p*y_n - γ*z_imag + ω*x_n

パラメータは λ, α, β, γ, ω, degree の6つ。degree は3以上の整数。

f:id:hrt1ro:20201118100409p:plain λ=-2.195 α=10.0 β=-12.0 γ=1.0 ω=0.0 degree=3

f:id:hrt1ro:20201118100413p:plain λ=1.56 α=-1.0 β=0.1 γ=-0.82 ω=0.12 degree=3

f:id:hrt1ro:20201118100418p:plain λ=-1.806 α=1.806 β=0.0 γ=1.0 ω=0.0 degree=5

f:id:hrt1ro:20201118100421p:plain λ=2.409 α=-2.5 β=0.0 γ=0.9 ω=0.0 degree=23

Symmetric Icon Attractor on Scratch

Tinkerbell Attractor

詳細はティンカーベル写像。名前の由来は定かではない。本アトラクタの解軌道が「シンデレラ城の上空を飛ぶティンカーベルの動きに似ている」らしいが、もし本当に似ていたら消されるやつでは。

$\left(x_0,y_0\right) =\left(-0.72, -0.64\right)$
$\begin{cases} x_{n+1} = x_n^2 − y_n^2 + a x_n + b y_n \\ y_{n+1} = 2 x_n y_n + c x_n + d y_n \end{cases}$
パラメータは a,b,c,dの4つ。

f:id:hrt1ro:20201119132816p:plain a=0.9 b=-0.6013 c=2.0 d=0.5

a=0.3, b=0.6, c=2.0, d=0.27 にもattractorがあるけど、あまりstrangeではないので割愛。

Tinkerbell Attractor on Scratch

Chossat Golubitsky Attractor

チョーサ氏とゴルビツキー氏のカオス。ぐぐり方がヘボいせいかチョーサ氏の綴がこれで正しいかどうか確証が持てない。

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.1, 0.1\right)$
$\begin{cases} A = a (x_n^2 + y_n^2) + b x_n (x_n^2 - 3 y_n^2) + c \\ x_{n+1} = A x_n + d (x_n^2 - y_n^2) \\ y_{n+1} = A y_n - 2 d x_n y_n \end{cases}$
パラメータは a,b,c,dの4つ。

f:id:hrt1ro:20201117111528p:plain a=2.0 b=-0.2 c=-1.75 d=1.0

f:id:hrt1ro:20201117111522p:plain a=1.0 b=0.0 c=-1.9 d=0.4

f:id:hrt1ro:20201117111518p:plain a=-1.0 b=0.1 c=1.6 d=-0.8

f:id:hrt1ro:20201117111513p:plain a=-1.0 b=0.1 c=1.52 d=-0.8

Chossat Golubitsky Attractor on Scratch

Lorenz Attractor

Lorenz Attractorでぐぐっても3Dのほうばかりヒットするので、2Dのこいつの詳細が分からない。

$\left(x_0,y_0\right) =\left(0.1, 0.1\right)$
$\begin{cases} x_{n+1}= (1 + a b) x_n - b x_n y_n \\ y_{n+1}= (1 - b) y_n + b x_n^2 \end{cases}$
パラメータは a, b のふたつ。